행렬(Matrix) 연산의 의미 (애니메이션)

행렬 연산의 의미를 애니메이션으로 살펴보려고 한다.

아래 예제들은 『프로그래머를 위한 선형대수』 (히라오카 카즈유키, 호리 겐 지음) 의

애니메이션으로 보는 선형대수 부분의 예제들이다.

책에서는 최대한 표현하려고 하였으나, 종이책에는 애니메이션 표현의 한계가 있다.

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행렬은 공간의 변형을 야기한다.

 

1. 전형적인 대각행렬

라는 행렬이 만드는 공간변화

행렬 A에 의해 가로는 1.5배 확대, 세로는 0.5배 축소된다.

대각행렬에서 첫 번째 열은 가로를, 두 번째 열은 세로를 어떻게 변형시킬 것인가와 관련되어 있다고 보면 된다.

이 경우 면적(혹은 부피)는 0.75배(1.5 × 0.5)가 되는데, 이를 행렬 A의 determinant(행렬식), det(A) 라고 한다.

 

 

2. 대각성분에 0이 있으면

라는 행렬이 만드는 공간변화

가로가 0배가 된다(눌려 납작해진다)

2차원 평면이 1차원 직선이 되었다. 즉 차원이 축소되었다. 랭크가 감소하였다.

이 경우 면적의 변화, 즉 det(B) = 0 이다. 

아래에서 또 이야기 하겠지만, 이럴 경우 행렬 B로 인한 결과를 이전으로 돌려놓을 수 없다. 즉, 행렬 B는 역행렬이 존재하지 않는 singular matrix 다.

 

 

3. 더욱이 음수까지 가면

라는 행렬이 만드는 공간변화

세로가 -0.5배 된다(뒤집힘)

이럴 경우 행렬식은 음수가 된다. 즉, det(C) < 0 (-0.5)

 

 

4-1. 대각행렬이 아닌 일반 행렬이면

라는 행렬이 만드는 공간변화

공간이 비틀어진다. 구부러지는 것이 아니라 직선은 직선, 평행은 평행인 채

이러한 공간변화에서 길이는 늘거나 줄더라도 방향은 변하지 않는 벡터를 eigen vector(고유벡터)라고 하며

길이가 늘거나 주는 정도가 eigen value(고유값)이다.

 

조금만 생각해보면, 대각행렬의 경우 고유값들의 곱이 determinant와 같음을 알 수 있다.

 

 

 

 

4-2. 행렬에서 열의 위치를 바꾸면

4-1의 행렬에서 1열과 2열을 바꾼

 

라는 행렬이 만드는 공간변화

4-1과 테두리의 평행사변형은 같지만, 한 번 뒤틀린다.

평행사변형은 같지만 한 번 뒤집혔으므로

 

 

5. 공간이 납작하게 찌그러지는 경우

라는 행렬이 만드는 공간변화

찌그러진다는 것은 이동한 곳의 차원이 원래보다 줄어든다는 것

공간이 찌그러지는, 즉 행렬의 determinant가 0이면 eigen value가 0인 eigen vector가 존재하게 된다.